آمار در ابعاد بالا

High-Dimensional Statistics

شماره درس: ۴۰۸۰۲ تعداد واحد: ۳
مقطع: کارشناسی ارشد نوع درس: نظری
پیش‌نیاز: – هم‌نیاز: –

اهداف درس

اهداف آمار سنتی با رژیم‌هایی روبرو است که ابعاد داده مشخص و کم است و در آن هدف یافتن پارامترهای ناشناخته با استفاده از داده‌ها است. در این رژیم‌های همینطور تعداد داده انبوه فرض می‌شود. برخلاف این رویکرد، در آمار با ابعاد بالا فرض می‌کنیم ابعاد داده الزاما مشخص و محدود نیست و ممکن است با تعداد داده‌ها تغییر کند. در این درس چارچوب نظری آماری برای تحلیل مسائل ابعاد بالا ارایه می‌کنیم.

ریز مواد

  1. مقدمه و مرور کلی مباحث
  2. کران‌های تمرکز (Concentration Inequalities)
    • کران‌های کلاسیک
    • متغیرهای تصادفی زیرگوسی و باندهای هافدینگ
    • متغیرهای تصادفی زیرنمایی و باندهای Bernstein
    • روش‌های مبتنی بر Martingale
    • توابع Lipschitz از متغیرهای تصادفی گوسی
  3. تمرکز معیار (Concentration Measure)
  4. قانون یکنواخت اعداد بزرگ
  5. انتروپی متریک
  6. ماتریس‌های رندم و تخمین ماتریس کوواریانس
  7. مدل‌های خطی تنک در ابعاد بالا
    • فرض‌های RIP، NSP و Restricted NSP
    • کران خطای بازیابی Support و همینطور خطای نرم ۲
    • باندهای Oracle
  8. مفهوم Reproducing Kernel Hilbert Space
  9. مدل‌های غیرپارامتری
    • کران‌های مبتنی بر انتروپی متریک
  10. کران‌های minimax
    • نامساوی Le Cam
    • روش Fano

ارزیابی

مراجع

  1. MartinJ. Wainwright. High-dimensional statistics:A non-asymptotic view point. Cambridge University Press, 2019.
  2. Roman Vershynin. High-dimensional probability: An introduction with applications in data science. Cambridge University Press, 2018.