محاسبات عددی
Numerical Computations
| شماره درس: ۴۰۲۱۵ | تعداد واحد: ۳ |
| مقطع: کارشناسی | نوع درس: نظری |
| پیش‌نیاز: معادلات دیفرانسیل | هم‌نیاز: – |
اهداف درس
هدف این درس، آشنا کردن دانشجویان کارشناسی با روش‌های عددی حل مسائل علمی رشته‌های مختلف علوم و مهندسی است. این روش‌ها می‌توانند مسائل علمی رشته‌های مختلف را که محاسبه‌ی دقیق آن‌ها با روش‌های معمول ریاضی مقدور نمی‌باشد، به صورت تقریبی و با خطای محدود، تخمین بزنند. در برخی موارد، محاسبه‌ی دقیق پاسخ مسائل با روش‌های معمول ریاضی امکان‌پذیر بوده ولیکن از پیچیدگی بالایی برخوردار است. این پیچیدگی، خود باعث ایجاد برخی خطاها می‌شود. روش‌های عددی می‌توانند پاسخ این مسائل را با خطای محدود و با پیچیدگی کم‌تری تخمین بزنند. از این رو، در ابتدای این درس دانشجویان با مفاهیم مربوط به خطا، و در ادامه با روش‌های عددی مختلف برای حل مسائل فنی مهندسی آشنا خواهند شد. از طرفی، استفاده از محیط‌های نرم‌افزاری کارامد برای حل مسائل، مقایسه‌ی روش‌های عددی و نمایش گرافیکی نتایج برای خلاصه‌سازی و جمع‌بندی آن‌ها از اهداف دیگر این درس است. همچنین آشنا ساختن دانشجویان با مسائل روز دنیا که حل آن‌ها با روش‌های معمول ریاضی غیرممکن بوده و یا از پیچیدگی بسیار بالایی برخوردار است، ولی روش‌های عددی راه‌حلی کارامد برای آن‌ها ارائه شده است، می‌تواند در راستای آموزش کاربردی این درس نقش به‌سزایی داشته باشد.
ریز مواد
- آشنایی با ابزار نرم‌افزاری مورد استفاده، مانند MATLAB یا Python (۲ جلسه)
- محاسبات مربوط به ماتریس‌ها
- بردارها و ترسیم
- فایلها و تعریف توابع
- آشنایی با برخی توابع داخلی ابزار موردنظر
- خطاها (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر خطاها
- سیستم ممیز شناور
- منشأ خطاها
- خطاهای نسبی و مطلق
- خطاهای گردکردن، ذاتی و برشی
- انتشارخطا و گراف فرایند
- ناپایداری در محاسبات عددی
- حل عددی معادلات غیرخطی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر پیدا کردن ریشه‌های تابع تک‌متغیره غیرخطی
- روش تنصیف
- روش نابه‌جایی
- روش وتری یا خط قاطع
- روش نیوتن-رافسون
- روش تکرارساده یا نقطه ثابت
- نرخ همگرائی روش‌های مختلف
- شرط‌های لازم/کافی برای همگرائی روش‌های نیوتن-رافسون، روش وتری و روش تکرار ساده
- روش هرنر برای محاسبه مقدار چندجمله‌ای
- روش تعمیم‌یافتة نیوتن-رافسون برای حل دستگاه معادلات غیرخطی
- اثبات شهودی و ریاضی روش‌های مذکور
- درون‌یابی، برون‌یابی و برازش منحنی (۵ جلسه)
- مقدمه‌ای بر درون‌یابی، برون‌یابی و برازش منحنی
- روش‌های مختلف درون‌یابی شامل روش لاگرانژ، روش تفاضلات تقسیم‌شده‌ی نیوتن، روش‌های تفاضلات پیشرو، پسرو و مرکزی نیوتن
- اثبات روش‌های مذکور و تحلیل خطا در آن‌ها
- برازش به چندجمله‌ای‌ها توسط روش کمترین مربعات
- برازش به منحنی‌های مختلف با کمک خطی‌سازی
- برون‌یابی
- انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی
- روش‌های مختلف انتگرال‌گیری عددی شامل روش مستطیلی، روش نقطه میانی، روش ذوزنقه‌ای، روش گاوس-لژاندر، روش سیمپسون ۱/۳ و سیمپسون ۳/۸ و روش رامبرگ
- بررسی میزان خطای روش‌های ذکر شده
- اثبات ریاضی و شهودی برای روش‌های مذکور
- مشتق‌گیری عددی با استفاده از روش‌های مختلف شامل روش نقطه‌ی میانی، روش تفاضل مرکزی، روش سه‌نقطه‌ای
- تحلیل مرتبه‌ی خطای روش‌های مذکور و استفاده از مفهوم برون‌یابی ریچاردسون برای بهبود نتایج مشتق‌گیری عددی
- حل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل
- روش‌های تک‌گامی شامل روش تایلور، روش اویلر، روش اویلر اصلاح شده، روش‌های رانگ-کوتا مرتبه ۲ (روش هیون، نقطه میانی و اصلاح‌شدۀ اویلر)، رانگ-کوتا مرتبه ۳ و رانگ-کوتا مرتبه ۴
- روش‌های چندگامی مانند روش آدامز-مولتون
- تحلیل خطای روش‌های مذکور و مقایسه آن‌ها
- تبدیل معادلات دیفرانسیل درجات بالاتر به دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
- تبدیل روش‌های تک‌گامی حل معادلات دیفرانسیل خطی به روش‌های عددی قابل استفاده برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
- حل عددی دستگاه معادلات خطی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر حل دستگاه معادلات خطی
- مقدمه‌ای بر ماتریس‌ها
- روش‌های مستقیم حل دستگاه معادلات خطی شامل روش ماتریس معکوس، روش کرامر، روش حذف گاوسی (پیشرو، پسرو و گاوس-جردن)، روش تجزیه مثلثاتی (LU چولسکی، دولیتل و کروت)
- روش‌های تکرارشونده شامل روش ژاکوبی و روش گاوس-سایدل
- مقادیر ویژه و بردار ویژه، روش توانی برای یافتن تخمینی از مقدار ویژه‌ی غالب و بردار ویژه‌ی متناظر با آن، و قضیه گرچ گورین
ارزیابی
- آزمون: آزمون‌های میان‌ترم و پایان‌ترم (۵۰% کل نمره)
- تمرین: ۶ تمرین نظری (حل مسائل علمی با روش‌های عددی)، ۶ تمرین عملی با محیط نرم‌افزاری معرفی شده؛ تمرینات در طول نیم‌سال تحویل داده می‌شوند (۴۰% کل نمره).
- پروژه: موضوع پروژه با کمک استاد انتخاب می‌شود. پروژه می‌تواند پژوهشی و یا عملی (با استفاده از ابزار معرفی شده) باشد. پس از انجام کار، نتیجه‌ی پروژه‌ی پژوهشی در قالب گزارش ارائه داده می‌شود. لازم به ذکر است که برای مسلط‌‌تر شدن به ابزار معرفی شده در درس ترجیح می‌رود که پروژه عملی باشد. همچنین پروژه‌های گروهی چنانچه به صورت دقیق تعریف شوند، می‌توانند بر توانایی‌های کار گروهی دانشجویان نیز تاثیر مثبت قابل توجهی داشته باشند (۱۰٪ کل نمره).
مراجع
- S. Pal. Numerical Methods Principles, Analysis and Algorithms. Oxford University Press, 2010.
- J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with Python 3. Cambridge University Press, 2013.
- J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with MATLAB. Cambridge University Press, 2015.
- C. B. Moler. Numerical Computing with MATLAB. MathWorks, 2013.