ساختمان‌های گسسته
Discrete Structures
| شماره درس: ۴۰۱۱۵ | تعداد واحد: ۳ |
| مقطع: کارشناسی | نوع درس: نظری |
| پیش‌نیاز: – | هم‌نیاز: – |
اهداف درس
هدف از این درس، آشنایی دانش‌جویان با مفاهیم، ساختارها، و تکنیک‌هایی از ریاضیات گسسته است که به‌طور گسترده در علوم و مهندسی کامپیوتر مورد استفاده قرار می‌گیرند. ایجاد مهارت‌های زیربنایی از جمله فهم و ساخت اثبات‌های دقیق ریاضی، تفکر خلاقانه در حل مسائل، آشنایی با نتایج اولیه در منطق، ترکیبیات، نظریه‌ی اعداد، نظریه‌ی گراف‌ها و نظریه‌ی محاسبات، و نیز فراهم آوردن پیش‌نیاز ریاضی موردنیاز برای بسیاری دیگر از دروس ارائه‌شده در گرایش‌های مختلف مهندسی کامپیوتر، از اهداف این درس به شمار می‌رود.
ریز مواد
- منطق (۳ جلسه)
- اصول اولیه‌ی منطق، گزاره‌ها، گزاره‌های هم‌ارز
- گزاره‌نماها، سورها، اصول استنتاج
- روش‌های اثبات
- نظریه‌ی توابع و مجموعه‌ها (۲ جلسه)
- مبانی نظریه‌ی مجموعه‌ها، عملگرهای مجموعه‌ای، مجموعه‌های شمارا و ناشمارا
- توابع یک‌به‌یک و پوشا، ترکیب توابع، معکوس توابع، دنباله‌ها
- نظریه‌ی اعداد (۲ جلسه)
- بخش‌پذیری، همنهشتی، محاسبات پیمانه‌ای
- اعداد اول، قضیه‌ی اویلر، مقدمه‌ای بر نظریه‌ی رمزنگاری
- استقرا (۲ جلسه)
- استقرای ریاضی، اصل خوش‌ترتیبی
- استقرای قوی، استقرای ساختاری
- شمارش (۴ جلسه)
- اصول اولیه‌ی شمارش، جایگشت و ترکیب
- ضرایب دوجمله‌ای، جایگشت‌ها و ترکیب‌های باتکرار
- اصل طرد و شمول، توزیع اشیا درون جعبه‌ها
- اصل لانه‌کبوتری
- احتمالات گسسته (۲ جلسه)
- نظریه‌ی احتمالات، تابع توزیع احتمال، احتمالات شرطی
- متغیرهای تصادفی، امید ریاضی، واریانس
- روابط بازگشتی (۳ جلسه)
- مسائل بازگشتی
- حل روابط بازگشتی (همگن و غیر همگن)
- توابع مولد
- رابطه‌ها (۲ جلسه)
- رابطه‌ها و خواص آن‌ها، نمایش رابطه‌ها، ترکیب روابط
- رابطه‌ها‌ی هم‌ارزی، بستارها
- ترتیب جزیی و جبر بول (۲ جلسه)
- مجموعه‌های با ترتیب جزیی، نمودار هاس، مرتب‌سازی توپولوژیکی
- مشبکه‌ها، جبر بول، خواص جبر بول
- گراف‌ها (۳ جلسه)
- تعاریف اولیه، گراف‌های خاص، گراف‌های دوبخشی، نمایش گراف‌ها، یک‌ریختی گراف‌ها
- مسیرها و همبندی، مسیرهای اویلری و همیلتنی
- گراف‌های مسطح، قضیه‌ی اویلر، رنگ‌آمیزی گراف‌ها
- درخت‌ها (۱ جلسه)
- درخت‌ها و جنگل‌ها، درخت‌های خاص، درخت‌های ریشه‌دار، درخت‌های پوشا
- ساختارهای جبری (۱ جلسه، اختیاری)
- تکواره‌ها، حلقه‌ها، گروه‌ها، گروه‌ها آبلی
- مدل‌سازی محاسبات (۳ جلسه)
- زبان‌ها و گرامرها، ماشین‌های با حالات متناهی
- تشخیص زبان‌ها، زبان‌های منظم
- (اختیاری) ماشین تورینگ
ارزیابی
- تمرین نظری: ۱۵٪ نمره
- آزمون‌‌ها (میان‌ترم، پایان‌ترم و آزمونک‌ها): ۸۵٪ نمره
مراجع
- K. H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th Edition, McGraw Hill, 2018.
- R. P. Grimaldi. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. 5th Edition, Pearson Addison Wesley, 2004.
- A. Engel. Problem-Solving Strategies. Springer, 1998.