فرآیندهای تصادفی
Stochastic Processes
| شماره درس: ۴۰۶۹۵ | تعداد واحد: ۳ |
| مقطع: کارشناسی ارشد | نوع درس: نظری |
| پیش‌نیاز: – | هم‌نیاز: – |
اهداف درس
هدف از این درس، آشنایی دانش‌جویان با مدل‌های تصادفی اندیس شده با زمان یا مکان است. به صورت دقیق‌تر، توصیف و استنتاج بر اساس این مدل‌ها و همینطور تخمین پارامترهای ناشناخته از جمله اهداف این درس است.
ریز مواد
- پیشگفتار
- مروری بر نظریه احتمالات
- اصول موضوعه احتمالات
- وقایع و آزمایش‌های مستقل
- متغیرهای تصادفی
- امیدریاضی
- گشتاورهای یک متغیر تصادفی
- امیدریاضی شرطی
- تابع مولد گشتاور
- نامساوی‌های پایه در نظریه احتمال: نامساوی‌های مارکف، چبیشف و چرنف
- قوانین اعداد بزرگ
- قضیه حد مرکزی
- انواع همگرایی‌های متغیرهای تصادفی
- فرایندهای تصادفی (مفاهیم اصلی)
- مفاهیم پایه و تعاریف مقدماتی فرایندهای تصادفی
- خواص آماری فرایندهای تصادفی
- فرایندهای تصادفی ایستا (Stationary Stochastic Processes)
- فرایندهای تصادفی متناوب با معیار Mean Square
- چند مثال برای فرایندهای ایستا: فرایندهای iid، فرایند برنولی، نویز سفید
- Ergodicity
- بررسی سیستم‌ها با ورودی تصادفی
- طیف توان (Power Spectrum)
- فرایند پواسن
- معرفی فرایندهای arrival و renewal
- خاصیت بدون حافظه بودن یک متغیر تصادفی
- خواص stationary increment و independent increment فرایند پواسن
- تابع چگالی احتمال $S_n$ و تابع چگالی احتمال مشترک
- تابع جرمی احتمال متغیر تصادفی
- چند نکته درباره توزیع پواسن
- تعاریف دیگری برای فرایند پواسن
- ترکیب کردن و انشعاب کردن فراینده‌های پواسن
- بردارهای گاوسی و فرایندهای گاوسی
- متغیر تصادفی گاوسی
- بردارهای تصادفی گاوسی
- فرایندهای تصادفی گاوسی
- چند مثال از فرایندهای گاوسی گسسته-زمان
- قضیه‌ای در مورد ایستایی فرایندهای تصادفی گاوسی
- زنجیره‌های مارکف متناهی-حالت
- تعریف زنجیره مارکف
- نمایش‌های مختلف زنجیره مارکف
- دسته‌بندی حالت‌های مختلف یک زنجیره مارکف
- نمایش ماتریسی
- حالت پایدار یک زنجیره مارکف
- حالت پایدار با فرض $P>0$
- حالت پایدار برای زنجیره‌های ارگودیک
- حالت پایدار برای ergodic unichains
- حالت پایدار برای زنجیره‌های مارکف متناهی‌حالت دلخواه
- تئوری تخمین
- مقدمه
- اصل کفایت (The Sufficiency Principle) و آمار کافی (Sufficient Statistic)
- قضیه factorisation
- آمار کافی کمین (Minimal Sufficient Statistics)
- اصل likelihood
- تخمینگرهای نقطه‌ای
- مقدمه
- روش‌های یافتن تخمینگرها
- روش گشتاورها
- تخمینگرهای بیشینه likelihood
- تخمینگرهای بیز
- روش‌هایی برای ارزیابی تخمینگرها
- خطای میانگین مربع
- بهترین تخمینگر بدون بایاس
- کران Cramer-Rao
- اطلاعات فیشر
- کفایت و بدون بایاس بودن
- قضیه Rao-Blackwell
ارزیابی
- تمرین: ۲۰ درصد
- میان‌ترم: ۳۰ درصد
- پایان‌ترم: ۵۰ درصد
مراجع
- Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe, 4th edition, 2002.
- Robert G. Gallager. Stochastic Processes: Theory for Applications. Cambridge University Press, 1st edition, 2014.
- George Casella and Roger L. Berger. Statistical Inference. Wadsworth Press, 2nd edition, 2001.